11º ano · Geometria Analítica · Produto escalar
Determinação da amplitude de um ângulo formado por dois vetores
Determinação da amplitude de um ângulo formado por dois vetores, recorrendo à noção de vetor como diferença entre dois pontos, equação vetorial de uma reta, equação de um plano, produto escalar e norma de um vetor.
Explicação do exercício
Para calcular a amplitude de um ângulo convexo A ou B, temos de perceber que este ângulo é formado por dois vetores. Portanto, para se chegar a sua amplitude, basta rever a fórmula em que o cosseno do ângulo formado por dois vetores é igual ao quociente entre o produto escalar entre esses dois vetores e o produto da norma entre eles.
Então, para chegarmos a esses valores, começamos por calcular as coordenadas dos vetores OA e OB através da diferença entre dois pontos.
Sabendo as coordenadas de A e de O, calculam-se as coordenadas do vetor OA.
No entanto, como não se sabem as coordenadas de B, através da equação vetorial da reta BC e da equação do plano ABF, calcula-se as coordenadas do ponto B, ponto de intersecção entre o plano e essa reta. Depois, procede-se ao cálculo das coordenadas do vetor OB.
De seguida, calcula-se o valor do produto escalar entre os vetores OA e OB e calcula-se também o valor do produto entre as normas destes dois vetores.
Aplica-se a fórmula e obtém-se o valor do cosseno. Como o pretendido era obter a amplitude do ângulo convexo, faz-se o inverso do cosseno de 0,314, obtendo-se a amplitude do ângulo A ou B, que é de aproximadamente 72 graus.