Determinação da equação de um plano

Para resolver este exercício, temos que terminar a equação do plano ABF.

Por sua vez, para terminar a equação do plano ABF, precisamos das coordenadas de um ponto pertencente a esse plano e de um vetor normal (perpendicular) a esse plano.

Olhando para o enunciado, verificamos que temos as coordenadas do ponto A , (4, -4, -3), e, a partir da equação vetorial de reta BC, um ponto pertencente à reta BC, (3,5,1) e o vetor diretor de BC, (2,3,6).

Analisando a figura, observa-se que a reta BC é perpendicular ao plano ABF, pelo que o vetor diretor de BC também será perpendicular ao plano ABF. Desta forma, podemos usar o vetor diretor de BC como vetor normal de ABF.

Depois, verificamos também que o ponto A pertence ao plano ABF. Agora, sabendo que as coordenadas do vetor normal correspondem aos coeficientes de x, y e z na equação ax + by + cz + d = 0, obtém-se que a equação do plano ABF é 2x + 3y + 6z + d = 0.

Por fim, para descobrir o valor de d, basta apenas substituir nesta nova equação do plano as coordenadas do ponto A (4,-4,-3) e resolver a equação em função de d, obtendo-se d = 22. Alternativamente, pode-se utilizar a expressão d = -(ax + by + cz).

Assim a equação do plano ABF é 2x + 3y + 6z + 22 = 0 (opção A).