12º ano · Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas · Funções logarítmicas
Inequação de 2º grau com logaritmos
Resolução de uma inequação de 2º grau recorrendo à fatorização, à definição de logaritmo e ao quadro de sinais.
Explicação do exercício
Neste exercício, temos uma inequação de segundo grau com logaritmos, (ln x)^2 - ln x - 2 < 0.
Para resolver esta inequação, começamos por substituir ln x por y e igualamos a expressão a zero, ficando com y^2 - y -2 = 0. Agora, resolvemos esta equação de segundo grau, obtendo y = 2 ou y = -1. Como ln x = y, pela definição de logaritmo, concluímos que as soluções para a equação (ln x) ^ 2 são x = e^2 ou x = e^-1.
Escrevendo (ln x)^2 - ln x - 2 como um produto de fatores, tem-se que (x - e^2)(x - e^-1) < 0. Depois, faz-se um quadro de sinais e verifica-se que o único intervalo em que este produto é negativo é quando x ∈ ]e^-1, e^2[, sendo este conjunto de valores a solução final.